Definición:
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los
números reales, cuyo codominio son también todos los números
reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer
grado.
Definición
f: R —> R / f(x) = a.x+b donde a y b son números
reales, es una función lineal.
Este último
renglón se lee: f de R en R tal que f de equis es igual a a.x+b
Por ejemplo, son
funciones lineales f: f(x) = 2x+5 ,
g: g(x) = -3x+7, h:
h(x) = 4
Definición:
Las funciones lineales son polinomios de primer
grado.
ver
grafica ejes
Recordemos que los
polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual
no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones
lineales: a(x) = 2x+7
b(x)
= -4x+3 f(x) = 2x + 5
+ 7x - 3
De estas funciones, vemos que la
f no está
reducida y ordenada como las demás. Podemos
reducir términos semejantes para que la expresión quede de una
forma mas sencilla, f(x)
= 9x + 2
Tambien recordemos
que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explicita el dominio
y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto
posible en cada caso.
Por ejemplo, si
hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que
f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo
el dominio todos los números reales, R, y el codominio también,
todos los números reales, R.
Esto se lee "
f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar
esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una
función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos
una tabla de valores.
f:
R ——> R / f(x) = 2x-6
Le vamos
dando valores a "x". ¿Que valores le podemos
dar? Cualquiera que este dentro del dominio.
Por ejemplo,
si x = 5 , entonces f(x) pasa a ser f(5), que es f(5) = 2.(5)-6
f(5) = 4
Entonces
al 5 le corresponde el 4. Nuestro punto es el (5,4).
¿Cómo
se coloca en un par de ejes coordenados?
¿Que tal si repasamos esto?
Y ahora
que ya sabemos colocar los puntos, podemos hacer la gráfica de una
función lineal. Con el botón "paso
a paso" iremos construyendo juntos la gráfica
de una recta. Cuando termines, con el botón "de
nuevo" podrás hacer otra gráfica.
f: R
—> R / f(x) = a.x+b
Una función
lineal cumple además, que el incremento de los valores
de los elementos del dominio es proporcional
al incremento de los valores en el codominio, siempre
que a
no sea cero.
Este número
a se llama pendiente
o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto
ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5
, g: g(x) = -3x+7,
h: h(x) = 4
f:
f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x
se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x),
se incrementa en 2 unidades.
Preste atención en que los valores de
x y de f(x)
NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g:
g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 =
7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2)
+7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x
se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x),
disminuye en 3 unidades.
h:
h(x) = 4
si x= 0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98)
= 4
Cada vez que la x
se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x),
NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una
recta paralela al eje OX.
¿Que diferencia fundamental
y muy importante hay entre las funciones h y j?
Parecería, a primera vista,
que son muy parecidas. Las "fórmulas"
de ambas son iguales. h(x)=3 y j(x)=3
Sin embargo, son muy distintas porque
mientras la función h tiene como dominio todos los números reales,
la función j tiene como dominio los números naturales. Y como
entre dos números naturales consecutivos no hay ningún otro
número natural, no existe gráfica ni puntos entre ellos.
Esto es, entre el 17 y el 18 no hay
ningún número natural. Entre el 17 y el 18 hay infinitos número
reales. He ahí la diferencia.
La representación gráfica
de h es una linea recta, pero la de j son puntos aislados, aunque son infinitos.
Esto, por supuesto, ocurre no solo
si son funciones constantes. Es para cualquier función. El
dominio es muy importante.
Cuando
no se especifíca el dominio y codominio, se supone
que son los mayores posibles. En el caso de las funciones lineales, es de
R en R.
Veamos otro ejemplo:
Esta función,
llamada q,
¿ será lineal ? Supongamos, además,
que es una función de R en R.
Para determinar
esto tenemos que ver si las diferencias entre los valores en el dominio y
codominio son proporcionales. Esto es, si cambian en la misma razón.
Dominio
x |
Codominio
y |
4
|
1
|
7
|
2
|
13
|
4
|
16
|
9
|
Dominio: de 4 a
7 aumenta en 3
Codominio: de 1 a 2 aumenta en 1
Dominio: de 7 a
13 aumenta en 6 Codominio:
de 2 a 4 aumenta en 2. Por ahora, parece
que si
Dominio: de 13 a
16 aumenta en 3 Codominio: de 4
a 9 aumenta en 5 Se rompió la relación
Cada 3 unidades
de aumento en x, aumentaría en 1 en el codominio, pero el "9"
no esta de acuerdo con esto. ¿Que número tendría que
estar, en lugar del "9", para que sea una función lineal
?
Primero
lo piensas y luego toca el botón "lineal".
RESUMEN:
Las funciones lineales son funciones de dominio real y codominio real,
cuya expresion analítica es
f: R —>
R / f(x) = a.x+b
con
a y
b
números reales.
La representación
gráfica de dichas funciones es una recta, en un sistema de ejes
perpendiculares. La inclinación de dicha recta esta dada por la pendiente
a
y la ordenada en el origen es
b.
Ejercicio resuelto: De
la funcion 3x+4y=12 deducir la fórmula de la ecuación de la
recta y tambien la de una paralela y otra perpendicular.
Luego graficar por pendiente y ordenada en el origen.
Luego graficar por pendiente y ordenada en el origen.
Otro ejercicio resuelto:
Dar la ecuación de la recta
con los datos: pendiente y un punto.
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